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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 >.ej.R8Z#1  
`O7QaR$f  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. IIcQbH  
W[,QmfKK  
　　1、三角函数本质： o0tuM  
&Bu=zXt T  
　　三角函数的本质来源于定义 9w00Qjz]  
&*NudDdPAA  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 d u\TR  
dc zAqMo  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 FZ[A:D8`-  
PI6=u.Y4>  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： yMB> (OS[  
XHPlQ1:  
　　推导： Kp|.aSF0r  
8W-n8Lq"o  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 -N/ 3B7 ot  
q:Iz>*  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) e] WW2a  
rG}8\OH  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) sv'c?%$  
sk)9@t "7  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 #S5 g;MN  
M[CJ73  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 6.Vo&A @T  
]|WU43  
　　[1] 9' =0 %`  
;D;J%d:  
　　两角和公式 X8 ~FP)6P  
Rr S:=kt3  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB \ 1l+k{A  
m:a{  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  /Hr~}c3  
,5C F[vs  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Oa] i6+b?  
|2KK_BJ  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB <S%%fw@  
z{`VC-l  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Ep1  ob  
AE!z`u  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) vu%uN+ID  
,kPE1t6  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  X9$txl104  
t8Ln r@<">  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 34Xa;  
Vc-"X~  
倍角公式 Hp4>( 8U  
'@l%"X>k]b  
　　Sin2A=2SinA•CosA wzH>uvd  
TftG-x  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 `d{YaC}e  
HB)bP_A0  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ^~=i?xpZ8o  
>uN}5KK9k  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 2O(D,4<B5  
2PHHU6-hO  
三倍角公式 3\8k :L  
"#yE,$02  
　　 MLFr6p0Q  
N\x/{u>  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) <H|)hQ  
%R$X{/FN>  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) S 2\=3$w  
-=rYz[j)OR  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) t!qQ_`5  
,pW Icm"  
三倍角公式推导 Ek!p6ZD(  
Gv`Y0?/  
　　sin3a :M><8dP   
V=#G0  
　　=sin(2a+a) %B57v\UP  
n4P6H)2u  
　　=sin2acosa+cos2asina ?o6^d6OvTF  
@Q$?LKL  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 9SgM62  
J?z aN85  
　　=3sina-4sin³a  gqjErE  
tv z]  
　　cos3a DYY)ys)  
_'#KaXyg  
　　=cos(2a+a) MA"zo[bE  
r.!/%T  
　　=cos2acosa-sin2asina @\*6u]uJ  
wPHHkT  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa MkS+#0#%"r  
5sHV.g#{I  
　　=4cos³a-3cosa %r(9 Bc%)  
}YGs ~g22  
　　sin3a=3sina-4sin³a *$]wU,(%  
r[M!N5!L  
　　=4sina(3/4-sin²a) ~trG-<  
;>|?&C4)  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] tQ <r;|<X  
l  '"-  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) P 7t- 4s  
>R|0M Gi"  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ':rDfW`2w  
l@<-Idyz@  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ~Wl/^b2   
Dl0V[l"s  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) V~na:i J  
p,R+_,B/  
　　cos3a=4cos³a-3cosa XA$).;&1  
g/#e%H*(  
　　=4cosa(cos²a-3/4) M*R ?bJ  
Fa-n0kq)s  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 7z@j6XN1+  
n"p0'"fNY  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) vN&!<sZ  
{yx n,-h(O  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Q\uYBC  
JaK {N  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} p{G.OyUL  
BugqV7sf  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) iQ#re5u  
-XI#Yigj  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]  j1@N:C  
(!W0Q?Z p  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] hD8w/O _S  
)&'{U6z  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) T#` |eO}M  
W?%  ()G  
　　上述两式相比可得 _aKR4 .)ke  
@ C@ vPPc  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ,"LX&eM&  
F('#fds+>  
半角公式 #TdwYpn<  
;ct %|  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); B7n-=,BK[  
$)?%[tA8  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. S]R[@CaJ  
R.RuP3   
和差化积 U^Z+_,bz  
Y? \WjS  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] n\G~0fZ]o  
^g]D\ C$<  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] dz1F2a&  
l[$%4\ 'j  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] SL)Gpy3F  
'tKp;qW >`  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] )f7X{rrZf|  
udMjz?  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) gspNJ(r|  
E:g%qVN(K  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) i4]4){>'  
~ykD^{G$  
积化和差 J>2XtPyr  
eA/V+9~g  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 7cVo62u  
Umjd+_PID  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] jR8ZGMdFy  
a>Y5vz$E6  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ^k.'tA"  
amv LuC   
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] *T~Kux  
>H]0%z  
诱导公式 (vX}wI:  
ENf-(^cV  
　　sin(-α) = -sinα Q>_iEUfT  
kn4?eGtY  
　　cos(-α) = cosα 8?0{I#)  
<]1i& /[)  
　　sin(π/2-α) = cosα uWV%R_  
!FA6MN  
　　cos(π/2-α) = sinα +_#H4E&&  
=7 > g\  
　　sin(π/2+α) = cosα ,NGvcwh@v  
$|/K*&`Naz  
　　cos(π/2+α) = -sinα Q4Y4 6t  
CraOrgl  
　　sin(π-α) = sinα vP :1&p  
h_<SUYU|  
　　cos(π-α) = -cosα PH"Xdh$dc#  
xc|A `1`S  
　　sin(π+α) = -sinα %*CXt7fw9  
s`v@ Ey3,  
　　cos(π+α) = -cosα "bTWE]vYG)  
$YJf=:9Paj  
　　tanA= sinA/cosA 3zQSfx  
vI K!}x  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα QFk^\  
k )Ra et3  
　　tan（π/2－α）＝cotα 8mRD@b  
\bE!CW'K  
　　tan（π－α）＝－tanα AoJ`3,)8!  
. 9%0Q&v5  
　　tan（π＋α）＝tanα k8Vhu7FDB  
O)*_o}x:V  
万能公式 $Uu{YLD  
Slm>OW,  
　　 jy_M.  
xcGL: B  
其它公式 >x3 l\o?  
bs2H JYKFX  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 /).8d5nc  
4B0 QwC  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 Ccn3rIaJg  
-\M]65[`w  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 9!"|}"  
0%P1sg,  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 KFiP}d  
Ps HMM4  
　　对于任意非直角三角形,总有 AVIyf jG  
ty|5j(f  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC &Gn^P  
v1c{jKs  
　　证: ?Og+tqK`  
Pjf>cm-7  
　　A+B=π-C Bq8:wD-P  
QO=>gR`  
　　tan(A+B)=tan(π-C) pomky(BS  
KQ]04mo9  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) <WSngKP8  
fb S<j  
　　整理可得 q7 vY2Hlo&  
C?1TS5^  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC <Gw|jhwQm]  
%_cr2'T  
　　得证 /mIuD UKs  
';52_/HQ{  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 /DjqrA XJ  
z$H6 }>S  
其他非重点三角函数 6TjC @\  
5M,t{Pt  
　　csc(a) = 1/sin(a) {VZ!?`  
g\}s>`]*  
　　sec(a) = 1/cos(a)  T1|=35{  
Al"B"yW  
　　 \+I)\E  
J=u+]  
双曲函数 W*uy[`  
?A A\1W$  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 1H }r-  
2CT9`Cx  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 E>{|t23";  
%yKVOLZyv  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) JN=4S2,U  
l4W!s@qDt  
　　公式一： (F k:I  
hiW8e] >  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 4+gJ4`gZ  
ac\2% wZ  
　　sin（2kπ＋α）= sinα hv08Yu5,  
!}w~n|  
　　cos（2kπ＋α）= cosα c / cvwMV  
Sf-r< 4a  
　　tan（kπ＋α）= tanα z"03"d -  
xF%o>kh  
　　cot（kπ＋α）= cotα ^.LomE%'  
!}%E,F51  
　　公式二： q8x7l Wy/  
r\xM|RH  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： v5X(tB  
G. L8a@gr7  
　　sin（π＋α）= -sinα *[0* ;!  
~.7F{';p^V  
　　cos（π＋α）= -cosα xeK0pE@  
K`h:{|f  
　　tan（π＋α）= tanα tZBJVkbyD  
OJs&faF*  
　　cot（π＋α）= cotα 4_qI;`)y  
54/ M  
　　公式三： V(/0#tv&  
% JCR&f_C  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： g]NqXX/J|  
i gh B .l  
　　sin（-α）= -sinα fQ4cEQ}?w  
/2:4"|  
　　cos（-α）= cosα _UVyBpK  
^GBf%P  
　　tan（-α）= -tanα H *[A9  
v0"KoGXLy  
　　cot（-α）= -cotα 2K)a"OD  
h<gUi,x^Zv  
　　公式四： q[! tAu  
#pL_--v  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 4O'_$K!  
:}T7 pQ,#  
　　sin（π-α）= sinα jCu|fh*c  
Ku]n66hh4  
　　cos（π-α）= -cosα -mg`* j<  
kB .l)e  
　　tan（π-α）= -tanα j!d]s9|R  
PJf=~_q:  
　　cot（π-α）= -cotα N!tZv"lw8  
{3r]VaH  
　　公式五： :s:o K_  
Y: (<  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： {JUu@kr  
7 e x&$$  
　　sin（2π-α）= -sinα l#/X VR  
J*"Z2_  
　　cos（2π-α）= cosα 3 kcD2P&  
xfr9Mdfk  
　　tan（2π-α）= -tanα zR0E1c  
M{',z-M5  
　　cot（2π-α）= -cotα TFHLxYXg[  
MU'b'I]  
　　公式六： ;,TE<$* Y  
tp<~d+c/  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： vgW&'bQQ  
%\u4 ,a  
　　sin（π/2+α）= cosα ,ZMN# +i  
3?4xw2FM  
　　cos（π/2+α）= -sinα 1: 5hv  
yY;ge9'   
　　tan（π/2+α）= -cotα `%uatoj9  
uuGlX O]yJ  
　　cot（π/2+α）= -tanα 6](?^B?lX  
50#<8 WI  
　　sin（π/2-α）= cosα 6&g FH Z  
-Rb]9NAD  
　　cos（π/2-α）= sinα tAX'Zf@%lB  
mX_Gkx~;'  
　　tan（π/2-α）= cotα i&4;KeJT  
-! ~SDC  
　　cot（π/2-α）= tanα 'f9cn_3G  
I}lABSu1  
　　sin（3π/2+α）= -cosα hG(7|o!^  
G5}I+{~2m  
　　cos（3π/2+α）= sinα CCZ\ oIg  
4IP,wW  
　　tan（3π/2+α）= -cotα [+U"B U?  
?)$>Q^i  
　　cot（3π/2+α）= -tanα p?2hngrKH  
Iw.1^H  
　　sin（3π/2-α）= -cosα \;6j )D=  
yK)&c ?"N  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Q{,}3{4  
_,,=pxN  
　　tan（3π/2-α）= cotα ,x*^:\P|  
<$Ew?B@(  
　　cot（3π/2-α）= tanα jq\ro[W\r  
Bdy =h8j  
　　(以上k∈Z) SVPsI,}4  
s\{S0Rm+g  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 q K~'2  
e ri<+?  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = /b7q ]!U  
$a~/  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } mmV5D1P?Z  
04v\7}87.  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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