三角函数内容规律 *N37GW'
I-zh[h C
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. w&B9kI@{
gLSI;<hD
1、三角函数本质: U51iF
pKZ=ejY_)
三角函数的本质来源于定义 7@$L{UB_3
cVRi4&N
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 =T(\UT
l<xQiMu)1
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 _@"dBp@JWr
<IUD:aN"
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: m*<2]y
A+4t&S]~<
推导: }oM!Vg?
aGWu^pCPb
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 QrZ`KV
k FDmL>
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Hkm)<|
Pew_5FG?w
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ;mG]M6
!vb6Eokq
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 1Cc&mTG
c@Kn4;a9Q
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) J [;PgZaC
lUY1GQEOR
[1] iV{SF3a`
1vz+(*zv
两角和公式 }Zf.)Mz
H]/ %,t7>
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB X] s8t8
Mo
~tJA1
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB i#=cnAWd
fz:7L]{`1
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB hK+ZF`b&
9 9C7
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB |*^B26~
+L!O
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) >hcB tm
u(&l^|
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) *M~f25@>
YGa?%IO!U
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) HAaGXj8
| R]n
]>
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) U= a)]A
xlqT|SmM
倍角公式 b$XT;Dz
]/sde~$xE
Sin2A=2SinA•CosA =4q/$t]p
?4SG2jw@@
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 qRX"`V6
"|J".s
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) H(.LdcN_
uH%6MY
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) -8S1s
GL|5C
三倍角公式 \4t?h5^
nm8$t!'k
%^U#$x1
\6&I
[[
J
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) = BA5kb+
1'/qA.EG
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) -@Tt(x[
!rTlj
b~
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) XBwY}0wVHZ
5.WOt4:gu
三倍角公式推导 a,AT59b+
-Z\YM\kP2g
sin3a \gd7s
x
z[a
Ro
=sin(2a+a) w4L1C5b
NT7>yr
=sin2acosa+cos2asina iTz=Fow
1a
>+o= ])L
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina .oEb}X
f2L$HmfH]E
=3sina-4sin³a Q/]|7v0
Z3]i^7i[
cos3a }-2IxPot
YT0n^{q9
=cos(2a+a) hO"z?1ZL,
49]C=D-
=cos2acosa-sin2asina Yi+b]+@i
Lj2lpRM
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa lp!35vs
) $v,
=4cos³a-3cosa V`qjq~W!
P*R#
sin3a=3sina-4sin³a H}%d: +p
#KK
Qbq#4
=4sina(3/4-sin²a) Rc2>|IG}
lci/_
=4sina[(√3/2)²-sin²a] #K0MU)s+
LeM)BTj
=4sina(sin²60°-sin²a) A)^EG*
k8;9Ml>
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) dab&pCG
! K44?l
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] xm+%O"\^
E )vEx
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) z'b?
0cEVb|~aI
cos3a=4cos³a-3cosa $!)jqz
:SAP'`j^
=4cosa(cos²a-3/4) 61,V*P8Oj
/nW`*+V
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] u|S;2c{MJ
Ppd24r
=4cosa(cos²a-cos²30°) .?XQ(S
!]zSvwoB
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) qI~27B%
KW{v9
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} LfQb "qi
wF3@ 2&
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) @),Dd
$B{D$r3~
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] pBDI`?Tx
Bp^g
I
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] u4<<G!
_m(O<}
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) n<ofCm
9"_<\p`0
上述两式相比可得 t+b4Y>
P4NOb1rJ?
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) K!4I&t
|}n^B%0I
半角公式 jQjD(zex
;!qwF"
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ,"R
,!9j
V^IR;#0N
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. !?Bn?4rVJ
4vi,4|.
和差化积 T0cW0l
q;Y
z%T%
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Ni$vF
XSI&
|8s"wHvA
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 8
?t<pwh
?w r[^
$
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] p7J&oE F~(
uN#3 E1p
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] M|&(L5d5
Z9T\Q]qh
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) mRTZx@'
ttVh&)F13
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) &mJL5fD
!iL^qqD<
积化和差 r0jVPT!J
_2r5FHo
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] o5iYA-1T
O2^c,>3_
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] <.8_[eJ~^
#Yr?Dw<
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 23*MM|^
HkiTI7@
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 5%O?5(g~
AR7tTd;U[
诱导公式 (27)8[V6r4
yqLy#H
sin(-α) = -sinα :=b* 2m\
URRnf-
t
cos(-α) = cosα S't5pj
1Fr7?Ehq
sin(π/2-α) = cosα n_`ys"g0
!m-I{@AU
cos(π/2-α) = sinα k9:s3a8gU
@ ?4DJYu@?
sin(π/2+α) = cosα 7a\/
i
y9]t M
cos(π/2+α) = -sinα g2c?z^2R
pd*4wV$ 8
sin(π-α) = sinα s,AcUi@2z
\S&5o3
cos(π-α) = -cosα FmPx<ZmG]
?t'rO71M#
sin(π+α) = -sinα mJ)@B[P
N@`Ommn
&
cos(π+α) = -cosα Ya~9X>
RH&$Fu#
tanA= sinA/cosA O0n8P@^-D
K$xfo{VD
tan(π/2+α)=-cotα ~ cu\
'E{_DX7
tan(π/2-α)=cotα J '))4's
K ^7R#% `
tan(π-α)=-tanα @IA5(
~h}, 1H}x
tan(π+α)=tanα nc*EKm L7e
d,apV{}=
万能公式 mH(l yY
ZiR&<:Xt!
7xyJD0"
;t`=nVi
其它公式 M"^QkrI
9D<:u)<*$)
(sinα)^2+(cosα)^2=1 igOqCI 6y
)OY9b
1+(tanα)^2=(secα)^2 H<dy0#9
U%c
b
j
1+(cotα)^2=(cscα)^2 3U:J&(-
E3P MmE
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 d7n|9.
J9gsD}:w
对于任意非直角三角形,总有 K{wUp+
ZaILrfT?
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC r ,~{)m
cC?5]@tj
证: `Xazql%
%5}
;XBL8
A+B=π-C F% K
-ANiy
tan(A+B)=tan(π-C) :"(3T
@z+L*5^$
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) - @s?|}J
6'AOw.
整理可得 !rE
`k0F
\IR\k9]I6
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC L';r{$>-
#h0s/
得证 *K6;7,
h
o`0Ox
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 `\r fnE
|;]S4P
其他非重点三角函数 iR?cI+#k
]Zh3
csc(a) = 1/sin(a) 2Z D*2\u
pe}X(7pT}
sec(a) = 1/cos(a) X_W_\=
Z/62iE$
_W9a[0i
V$'^.PU5
双曲函数 YC_u
m
v raQ#Q0.p
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 j Z^h
7s-0;sw3L
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 /HG5iY8V
`ml^ # e
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) J9`h.j
EZb^d9<
公式一: #+C(->;n
a<enT?
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: kp_0 b3~m
/Z#:Cv*i
sin(2kπ+α)= sinα M6hv99Dw
4pEVo9:t
cos(2kπ+α)= cosα (Ti&+oj;x
>w"P /e9Hy
tan(kπ+α)= tanα [g.aYiNq
HxEZw(
cot(kπ+α)= cotα +\u%53
NN~%E|K
公式二: /j>#w$
lwc19$`xA
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: A
.T(a
l;in!
sin(π+α)= -sinα eTHC(TMvN
C
8wk"j%
cos(π+α)= -cosα gNKRgg
0:Fo|Nw&
tan(π+α)= tanα I
9y
N)lV*}EN
cot(π+α)= cotα V@_iJc
E ^?%hP
公式三:
xj%
dgL
,#oC4
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: n%d<E
X'2&Rj&s
sin(-α)= -sinα 8=q
}pa
OG}S?ChH2
cos(-α)= cosα GfM_ 0!0
9eGM9(t
tan(-α)= -tanα Bz0I#zF
ud(]Vi
cot(-α)= -cotα Ps6wg7u"
F
S/2
公式四: |^+YN;h>-
<Z "rW
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: x"(mDi>8pl
qO
S!TAv
sin(π-α)= sinα R\2%([:<8
`M/U FJQ#
cos(π-α)= -cosα CJ*#Hxe
Nl]9 UQ
tan(π-α)= -tanα p:p7LTIPj
s8E9T4T
cot(π-α)= -cotα 8j0U{W
Uhm}Km
公式五: 4T,)!XSzCh
lS8Oi
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: W
+x<jtmH
x9es T
sin(2π-α)= -sinα pU[^i5
YPtm ~Vvp
cos(2π-α)= cosα yLW#i!j!
HDO=X/!l
tan(2π-α)= -tanα upHa|9F
FeD^N_
cot(2π-α)= -cotα EgBU ;HZX
]9;ot*r z3
公式六: {]E~o%as
En. yKSa
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: )V2GLA*Hk
{9)S1!,B
sin(π/2+α)= cosα _kM1d6&Z
oD3uq1UW
cos(π/2+α)= -sinα *o9% S_^
izg?
tan(π/2+α)= -cotα
y%b;A[mV
dHPi <Dly
cot(π/2+α)= -tanα {0 $vic
,_wSSv2mfS
sin(π/2-α)= cosα Z&CBEC b
JJ-BP=As
cos(π/2-α)= sinα +
G
Sc
1T4cQ{
tan(π/2-α)= cotα 6KrH)*p
aToXn%
cot(π/2-α)= tanα KmGN[_&
niaTxd* @
sin(3π/2+α)= -cosα
@S6~D@u"
t\I F&4g
cos(3π/2+α)= sinα ,on7)5,
,btTvgG
tan(3π/2+α)= -cotα Lc;Tt$p
tyo\w;) }`
cot(3π/2+α)= -tanα EisjlN
!cWnT#6X.'
sin(3π/2-α)= -cosα |F
6 4
m?t+
cos(3π/2-α)= -sinα [7.
Y"JOyn
oh*`]Z
tan(3π/2-α)= cotα E '.t#eU
1/VM5rf
cot(3π/2-α)= tanα S)%"d>~r
n4 _Rc9
(以上k∈Z) DGTG5xb2
[hmmZ?jno
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 vlrucp-{
0B3<j/S8%
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = (Yl0/b :
QRa<yO2/7v
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } cj,m
*:rdR]X
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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