日历

2025 - 7
  12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031  
«» 2025 - 7 «»

存 档

日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 * N37GW'  
I-zh[h C  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. w&B9kI@{  
gLSI;<hD  
  1、三角函数本质: U51iF  
pKZ=ejY_)  
  三角函数的本质来源于定义 7@$L{UB_3  
cVRi4&N  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 =T(\UT  
l<xQiMu)1  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 _@"dBp@JWr  
<IUD:aN"  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例:  m*<2]y  
A+4t&S]~<  
  推导: }oM!Vg?  
aGWu^pCP b  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 QrZ`KV  
kFDmL>  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Hkm)<|  
Pew_5FG?w  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ;mG]M6  
!vb6Eokq  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 1Cc&mT G  
c@Kn4;a9Q  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) J [;PgZaC  
lUY1GQEOR  
  [1] iV{SF3a`  
1vz+(*zv  
  两角和公式 }Zf.)Mz  
H]/ %,t7>  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB X] s8t8  
Mo ~tJA1  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  i#=cnAWd  
fz:7L]{`1  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB hK+ZF`b&  
 9 9C7  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB |*^B26~  
+L!O  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) >hcBtm  
 u(&l^|  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) *M~f25@>  
YGa? %IO!U  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  HAaGXj8  
| R]n ]>  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) U= a)]A  
xlqT|SmM  
倍角公式 b$XT;Dz  
]/sde~$xE  
  Sin2A=2SinA•CosA =4q/$t]p  
?4SG2jw@ @  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 qRX"`V6  
"|J".s  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) H(.LdcN_  
uH%6MY  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) -8S1s  
GL|5C  
三倍角公式 \4t?h5^  
nm8$t !'k  
   %^U#$x1  
\6&I [[ J  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) = BA5kb+  
1'/qA.EG  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) -@Tt(x[  
!rTlj b~  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) XBwY}0wVHZ  
5.WOt4:g u  
三倍角公式推导 a,AT59b+  
-Z\YM\kP2g  
  sin3a \gd7s x  
z[a Ro  
  =sin(2a+a) w4L1C5b  
NT7>yr  
  =sin2acosa+cos2asina iTz=Fow 1a  
>+o= ])L  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina .oEb}X  
f2L$HmfH]E  
  =3sina-4sin³a Q/]|7v0  
Z3]i^7i[  
  cos3a }-2IxPot  
YT0n^{q9  
  =cos(2a+a) hO"z?1ZL,  
49 ]C=D-  
  =cos2acosa-sin2asina Yi+b]+ @i  
Lj2lpRM  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa lp!35vs  
 ) $v,  
  =4cos³a-3cosa V`qjq~W!  
P*R#  
  sin3a=3sina-4sin³a H}%d: +p  
#KK Qbq#4  
  =4sina(3/4-sin²a) Rc2>|IG}  
lci /_  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] #K0MU)s+  
LeM)BTj  
  =4sina(sin²60°-sin²a) A)^EG *  
k8;9Ml>  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) dab&pCG  
! K44?l  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] xm+%O"\^  
E ) vEx  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) z'b?  
0cEVb|~aI  
  cos3a=4cos³a-3cosa $ !)jqz  
:SAP'`j^  
  =4cosa(cos²a-3/4) 61,V*P8Oj  
/nW`* +V  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] u|S;2c{MJ  
Ppd24r  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) .?XQ(S  
!]zSvwoB  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) qI~27B%  
KW{v9  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} LfQb "qi  
wF3@ 2&  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) @),Dd  
$B{D$r3~  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] pBDI`?Tx  
Bp^g I  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] u4<<G!  
_m(O <}  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) n<ofCm  
9"_<\p`0  
  上述两式相比可得 t+b4Y>  
P4NOb1rJ?  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) K!4I&t  
|}n^B%0I  
半角公式 jQjD(zex  
;!qwF"  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ,"R ,!9j  
V^IR;#0N  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. !?Bn?4rVJ  
4vi,4| .  
和差化积 T0cW0l  
q;Y z%T%  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Ni$vF XSI&  
|8s"wHvA  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 8 ?t<pwh  
?w r[^ $  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] p7J&oE F~(  
uN#3 E1p  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] M|&(L5d 5  
Z9T\Q]qh  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) mRTZx@'  
ttVh&)F13  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) &mJL5fD  
!iL^qqD<  
积化和差 r0jVPT!J  
_2r5FHo  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] o5iYA-1T  
O2^c,>3_  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] <.8_[eJ~^  
#Yr?Dw<  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 23*MM|^  
HkiTI7@  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 5%O?5(g~  
AR7tTd;U[  
诱导公式 (27)8[V6r4  
yqLy#H  
  sin(-α) = -sinα :=b* 2m\  
URRnf- t  
  cos(-α) = cosα S't5pj  
1Fr7?Ehq  
  sin(π/2-α) = cosα n_`ys"g0  
!m-I{@AU  
  cos(π/2-α) = sinα k9:s3a8gU  
@ ?4DJYu@?  
  sin(π/2+α) = cosα 7a\/ i  
y9]t M  
  cos(π/2+α) = -sinα g2c?z^2R  
pd*4wV$ 8  
  sin(π-α) = sinα s,AcUi@2z  
\S & 5o3  
  cos(π-α) = -cosα FmPx<ZmG]  
?t'rO71M#  
  sin(π+α) = -sinα mJ)@B[P  
N@`Ommn &  
  cos(π+α) = -cosα Ya~9X>  
RH&$Fu#  
  tanA= sinA/cosA O0n8P@^-D  
K$xfo{VD  
  tan(π/2+α)=-cotα ~ c u\  
'E{_DX7  
  tan(π/2-α)=cotα J '))4's  
K ^7R#% `  
  tan(π-α)=-tanα @IA5(  
~h}, 1H}x  
  tan(π+α)=tanα nc*EKmL7e  
d,apV{}=  
万能公式 mH(lyY  
ZiR&<:Xt!  
   7xyJD0"  
;t`=nVi  
其它公式 M"^QkrI  
9D<:u)<*$)  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 igOqCI6y  
)OY9b  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 H<dy0#9  
U%c b j  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 3U:J&( -  
E3PM mE  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 d7n|9.  
J9gsD}:w  
  对于任意非直角三角形,总有 K{wUp+  
ZaILrfT?  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC r ,~{)m  
cC?5]@tj  
  证:  `Xazql%  
%5} ;XBL8  
  A+B=π-C F % K  
-A Niy  
  tan(A+B)=tan(π-C) :"(3T  
@z+L*5^$  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) -@s?|}J  
6'AOw.  
  整理可得 !rE `k0F  
\IR\ k9]I6  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC L';r{$>-  
#h0s/  
  得证 *K6;7,  
h o`0Ox  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 `\r fnE  
|;]S4P  
其他非重点三角函数 iR?cI+#k  
]Zh3  
  csc(a) = 1/sin(a) 2ZD*2\u  
pe}X(7pT}  
  sec(a) = 1/cos(a) X_W_\=  
Z/62iE$  
   _W9a[0i  
V$'^.PU5  
双曲函数 YC_u m  
vraQ#Q0.p  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 j Z^h  
7s-0;sw3L  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 /HG5iY8V  
`ml^ # e  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) J9`h.j  
EZb^d9<  
  公式一: #+C(->;n  
a<enT?  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: kp_0 b3~m  
/Z#:Cv*i  
  sin(2kπ+α)= sinα  M6hv99Dw  
4pEVo9:t  
  cos(2kπ+α)= cosα (Ti&+oj;x  
>w"P /e9Hy  
  tan(kπ+α)= tanα [g.aYiNq  
HxEZw(  
  cot(kπ+α)= cotα +\u% 53  
NN~%E|K  
  公式二: /j>#w$   
lwc19$`xA  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: A .T(a  
l;in!  
  sin(π+α)= -sinα eTHC(TMvN  
C 8wk"j%  
  cos(π+α)= -cosα gNKRgg  
0:Fo|Nw&  
  tan(π+α)= tanα I 9y   
N)lV*}EN  
  cot(π+α)= cotα V@_iJc  
E ^?%hP  
  公式三: xj% dg L  
,#oC4   
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: n %d<E  
X'2& Rj&s  
  sin(-α)= -sinα 8=q }pa  
OG}S?ChH2  
  cos(-α)= cosα GfM_ 0!0  
9eGM9(t  
  tan(-α)= -tanα Bz0I#zF  
ud(]Vi  
  cot(-α)= -cotα Ps6wg7u"  
F S/2  
  公式四: |^+YN;h>-  
<Z"rW  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: x"(mDi>8pl  
qO S!TAv  
  sin(π-α)= sinα R\2%([:<8  
`M/U FJQ#  
  cos(π-α)= -cosα CJ*#Hxe  
Nl]9 UQ  
  tan(π-α)= -tanα p:p7LTIPj  
s8E9T4T  
  cot(π-α)= -cotα 8j0U{W  
Uhm} Km   
  公式五: 4T,)!XSzCh  
lS8Oi  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: W +x<jtmH  
x9e sT  
  sin(2π-α)= -sinα pU[^i5  
YPtm ~Vvp  
  cos(2π-α)= cosα yLW#i!j!  
HDO=X/!l  
  tan(2π-α)= -tanα upHa|9F  
FeD^N_  
  cot(2π-α)= -cotα EgBU ;HZX  
]9;ot*r z3  
  公式六: {]E~o%as  
En. yK Sa  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: )V2GLA*Hk  
{9)S1!,B  
  sin(π/2+α)= cosα _kM1d6&Z  
oD3uq1UW  
  cos(π/2+α)= -sinα *o9% S_^  
izg?  
  tan(π/2+α)= -cotα y%b;A[mV  
dHPi <Dly  
  cot(π/2+α)= -tanα {0 $vic  
,_wSSv2mfS  
  sin(π/2-α)= cosα Z&CBEC b  
JJ-BP=As  
  cos(π/2-α)= sinα + G  Sc  
1T4cQ{  
  tan(π/2-α)= cotα 6KrH )*p  
aToXn%  
  cot(π/2-α)= tanα KmGN[_&  
niaTxd* @  
  sin(3π/2+α)= -cosα @S6~D@u"  
t\I F&4g  
  cos(3π/2+α)= sinα ,on7)5,  
,btTvgG   
  tan(3π/2+α)= -cotα Lc;Tt$p  
tyo\w;) }`  
  cot(3π/2+α)= -tanα EisjlN  
!cWnT#6X.'  
  sin(3π/2-α)= -cosα |F 6 4  
m?t +  
  cos(3π/2-α)= -sinα [7. Y"JOyn  
oh*`]Z  
  tan(3π/2-α)= cotα E '.t#eU  
1/VM5rf  
  cot(3π/2-α)= tanα S)%"d>~r  
n4 _Rc9  
  (以上k∈Z) D GTG5xb2  
[hmmZ?jno  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 vlrucp-{  
0B3<j/S8%  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = (Yl0/b :  
QRa<yO2/7v  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } cj,m  
*:rdR]X  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
类别: 收藏 |  评论(0) |  浏览(16733) |  收藏